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《选修11:导数的应用:恒成立问题、存在性问题》教案.doc 17页

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第 PAGE 页 适用学科 高中数学 适用年级 高二 适用区域 苏教版 课时时长(分钟) 2课时 知识点 1.恒成立问题 2.存在性问题 教学目标 1. 能利用导数熟练解决恒成立问题 . 2. 能利用导数熟练解决存在性问题 教学重点 分辨恒成立问题、存在性问题 教学难点 理解最大最小值成立 【知识导图】 教学过程 教学过程 一、导入 一、导入 【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态。 导入的方法很多,仅举两种方法: 情境导入,比如讲一个和本讲内容有关的生活现象; 温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生建立知识网络。 极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是函数在整个定义域上的情况,是对函数在整个定义域上的函数值的比较. (2)函数的极值不一定是最值,需对极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性. (3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. (4)可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值,若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a),若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 二、知识讲解 二、知识讲解 考点1 恒成立问题 考点1 恒成立问题 (1)恒成立问题的转化:恒成立; (2)能成立问题的转化:能成立; (3)恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M 另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值. (4)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方; (5)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方; 考点2 考点2 存在性问题 (1)设函数、,对任意的,存在,使得,则 (2)设函数、,对任意的,存在,使得,则。 (3)设函数、,对任意的,存在,使得,则在上的值域M是在上的值域N的子集。即:MN。 (4)设函数、,存在,存在,使得,则 (5)设函数、,存在,存在,使得,则 三 、例题精析 三 、例题精析 类型一 恒成立问题 例题1 例题1 已知函数,,其中,.对任意,都有恒成立,求实数的取值范围; 【解析】由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是. 【总结与反思】 在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的,尤其是最值的求解过程中,一定会涉及到极值的求解部分,所以也可以说:极值不一定是最值,但是最值一定是极值。 例题2 例题2 已知f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2. (1)求f(x)的解析式; (2)证明对任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立. 解:(1)由f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,知f(0)=0,解得d=0, 所以f(x)=ax3+cx(a≠0),f′(x)=3ax2+c(a≠0). 由当x=1时,f(x)取得极值-2,得f(1)=a+c=-2,且f′(1)=3a+c=0,解得 a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x. (2)令f′(x)>0,解得x<-1,或x>1;令f′(x)<0,解得-1<x<1, 从而函数f(x)在区间(-∞,-1)内为增函数,(-1,1)内为减函数, 在(1,+∞)内为增函数. 故当x∈[-1,1]时,f(x)的最大值是f(-1)=2,最小值是f(1)=-2, 所以,对任意x1、x2∈(-1,1),|f(x1)-f(x2)|<2-(-2)=4. 【总结与反思】 在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的,尤其是最值的求解过程中,一定会涉及到极值的求解部分,所以也可以说:极值不一定是最值,但是最值一定是极值。 类型二 存在性问题 例题1 例题1 已知,函数,设在上是单调函数,求的取值范围. 【解析】根据题意,,,当时,在上为单调函数的充要条件是,,解,综上,在上为单调函数的充要条件是,即的取值范围为。 【总结与反思】 本题主要考查含参数的单调性,在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。 例题2 例题2 已知函数存在单调递减区间,求的取值范围 【解析】因为函数存在单调递减区间,所以 有解.即能成立, 设. 由得, .于是,, 由题设,所以a的取值范围是 【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性,在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。 四 、课堂运用 四 、课堂运用 基础 基础 1.当时,不等式恒成立,则

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