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《选修11:导数的应用:分类讨论、参变分分离》教案.doc 18页

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第 PAGE 页 适用学科 高中数学 适用年级 高二 适用区域 江苏省 课时时长(分钟) 2课时 知识点 1.分类讨论 2.参变分离 教学目标 熟练掌握求含参数问题的两种方法:分类讨论、参变分离 教学重点 确立分类讨论标准、参变分离的适用范围 教学难点 正确选用分离讨论、参变分离 【知识导图】 教学过程 教学过程 一、导入 一、导入 【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态。 导入的方法很多,仅举两种方法: 情境导入,比如讲一个和本讲内容有关的生活现象; 温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生建立知识网络。 用导数研究函数恒成立问题的步骤: 明确函数的定义域,并求函数的导函数; 对表达式进行转化,建立参数和自变量之间的函数关系。 对新建立的函数求导,并求对应的解集; 列表,确定新函数的单调性; 确定新函数在区间上的最值或极值。 二、知识讲解 二、知识讲解 考点1 分类讨论问题 考点1 分类讨论问题 已知函数中含参数。 1 求函数的导函数; 2 ,函数在定义域内单调递增; 3 ,函数在定义域内单调递减; 4 ,是极值点。 注:(1)用导数研究函数,需要明确函数的定义域。 (2)已知函数(不能同时为0)的图像是中心对称图像,且有两个根和,当时,有两个增区间和一个减区间,为极大值,为极小值;当时,有两个减区间和一个增区间,为极小值,为极大值。 (3)函数含参数的问题,需要根据上面的方法去研究,但是需要对参数分类讨论。 考点2 考点2 参变分离问题 已知函数, 1 求函数的导函数; 2 ,函数在定义域内单调递增; 3 ,函数在定义域内单调递减; 4 ,是极值点。 注:(1)通过函数的单调性来证明函数中的不等式问题。 (2)如果函数中含有参数,一般采用分类讨论。 三 、例题精析 三 、例题精析 类型一 参变分离问题 例题1 例题1 设函数讨论的单调性。 【解析】的定义域为,令,其判别式为 (1)当时,,故上单调递增. (2)当时,的两根都小于0,在上,,故上单调递增. (3)当时,的两根为,当时, ;当时, ;当时, ,故分别在上单调递增,在上单调递减。 【总结与反思】 本题主要考查函数中含参数的讨论问题,要掌握方法和规律。 类型二 参变分离问题 例题1 例题1 设函数。 (1)求的单调区间;(2)若,为整数,且当时,,求的最大值。 【答案】(1)如下;(2)2。 【解析】(1)函数的定义域为(-∞,+∞),且,当时,,在(-∞,+∞)上是增函数;当时,令,得,令,得,所以在上是增函数,令,得,所以在上是减函数。 (2)若,则,,所以,故当时,等价于 ,即当时,() ①令,则, 由(1)知,函数在单调递增,而,,所以在存在唯一的零点,故在存在唯一的零点。设此零点为,则,当时,;当时,,所以在的最小值为,又由,可得,所以,由于①式等价于,故整数的最大值为2。 【总结与反思】本题主要考查用导数的综合性问题,第一问含参的单调性,第二问求参数的最大值,分类讨论比较复杂,采用的方法是参变分离。 四 、课堂运用 四 、课堂运用 基础 基础 1.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a) (1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 2.已知函数. (1)若函数在区间上是单调函数,求实数的取值范围; (2)若函数在区间上的最大值为4,求实数的值. 答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax. 因为f′(1)=3-2a=3, 所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0. (2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=eq \f(2a,3).当eq \f(2a,3)≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a. 当eq \f(2a,3)≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0. 当0<eq \f(2a,3)<2,即0<a<3时,f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(2a,3)))上单调递减,在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3),2))上单调递增. 从而f(x)max=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8-4a (0<a≤2),0 (2<a<3))), 综上所述 2.【答案】见解析 【解析】(1)因为,所以在区间上是单调增函数. 因为在区间上恒成立

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