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《选修11:双曲线的标准方程和几何性质》教案.doc 20页

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第 PAGE 页 适用学科 高中数学 适用年级 高二 适用区域 苏教版区域 课时时长(分钟) 2课时 知识点 双曲线的标准方程和几何性质 教学目标 1.掌握双曲线的标准方程和几何性质.(重点) 教学重点 2.双曲线的渐近线和离心率的求法.(难点) 教学难点 3.椭圆与双曲线几何性质的比较.(易混点) 【教学建议】 本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程,字母的意义和关系式,方程的特点。 【知识导图】 教学过程 教学过程 一、导入 一、导入 教材整理 双曲线的标准方程 阅读教材P39~P40例1以上部分,完成下列问题 【教学建议】 合理利用教材上的导入课程进行导入。提问和互动,进行概念辨析和公式推导。与椭圆方程进行对比辨析。 二、知识讲解 二、知识讲解 考点1 考点1 双曲线的定义 【教学建议】 双曲线的定义:平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于||)的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a<||,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||,则动点的轨迹是两条射线;若2a>||,则无轨迹. 若<时,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若>时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. 考点2 考点2 双曲线的标准方程 标准 方程 eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0) eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) a,b,c之间的关系 c2=a2+b2 双曲线的标准方程:和(a>0,b>0).这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,不一定大于,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. 如果已知双曲线过两个点(不是在坐标轴上的点),求其标准方程时,为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或 考点3 考点3 双曲线的几何性质 1.双曲线的实轴长为,虚轴长为,离心率>1,离心率e越大,双曲线的开口越大. 2.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式:,其中k是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是和. 4.在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有与的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. 5.在双曲线中,如果一个三角形的两个顶点是焦点,另一个顶点在椭圆上,称该三角形为焦点三角形,则面积等于,其中是虚半轴的长; 6.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为. 标准方程 性质 图形 性质 焦点 焦距 范围 对称轴 轴,轴 对称中心 原点 顶点 轴 实轴:线段,长:;虚轴:线段,长:;实半轴长:,虚半轴长: 离心率 渐近线 三 、例题精析 三 、例题精析 类型一 双曲线的标准方程 例题1 例题1  根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)经过点 (2)c=eq \r(6),经过点(-5,2),焦点在轴上. 【解答】 法一:若焦点在x轴上,设双曲线的方程为 ∴点 在双曲线上, 解得(舍去) 若焦点在y轴上,设双曲线的方程为 将P,Q两点坐标代入可得 解得 ∴双曲线的标准方程为 法二:设双曲线方程为 ∵P,Q两点在双曲线上, 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m=-16,,n=9.)) ∴所求双曲线的标准方程为 (2)法一:依题意可设双曲线方程为 依题设有解得 ∴所求双曲线的标准方程为 法二:∵焦点在x轴上,c=eq \r(6), ∴设所求双曲线方程为,(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5,2), ∴eq \f(25,λ)-eq \f(4,6-λ)=1, ∴λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是 【教学建议】 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程,再构造关于的方程组求解,从而得出双曲线的标准方程.也可以设双曲线方程为的形式,将两点代入,简化运算过程.解答(2)利用待定系数法. 【教学建议】 1.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤 2.求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位:“定位”是指确定与坐标系的

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